11.Matematika

Akar-akar Persamaan Kuadrat

ax^2 + bx + c = 0

Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat  yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:

persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

ax^2 + bx + c = 0

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk  diubah bentuk menjadi persamaan:

(x + p)^2 = q
x^2 + bx + c = 0

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan  didapatkan dengan cara:

p = \frac{1}{2}b
q = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

(x + p)^2 = q
(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c
x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c
x^2 + bx + c = 0

Rumus abc

ax^2 + bx + c = 0

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat  didapatkan dari rumus abc berikut:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga, akar-akarnya adalah

x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

ax^2 + bx + c = 0

Jenis akar-akar persamaan kuadrat  dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b^2 - 4ac

Sehingga rumus abc menjadi:

x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}
( \sqrt{D} )
ax^2 + bx + c = 0

Tanda akar diskriminan  dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK  adalah:

  • Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
  • Jika D > 0 maka akar-akarnya real () dan berbeda ().
  • Jika D = 0 maka akar-akarnya real () dan sama atau kembar ().

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

ax^2 + bx + c

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan  dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com

= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}
\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

  • Penjumlahan akar-akar .
  • Perkailan akar-akar .
x_1 + x_2
x_1 \cdot x_2

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam () dan (). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan: